Nivel 1

Nivel 2

Nivel 3

Contenidos

• Matriz: términos, elementos, notación y vocabulario, tipos.

• Operaciones con matrices. Propiedades.

• Matriz inversible. Cálculo de la inversa.

• Operaciones elementales. Escalonamiento por Gauss. Rango.

• Matrices y resolución de sistemas lineales.

• Determinante: concepto y propiedades elementales.

• Métodos para calcular determinantes.

• Menores. Cálculo del rango mediante determinantes.

• Cálculo de la inversa mediante determinantes.

• Regla de Cramer.

• Otras utilidades del determinante.

• Producto de matrices notables. Submatrices y bloques.

• Matrices elementales y rango.

• Rango, regularidad e independencia lineal. Cálculo de la inversa.

• Factorizaciones de matrices: LU, Cholesky.

• Determinantes.

• Valores y vectores propios. Forma de Jordan.

Objetivos

1. Usar las matrices como herramienta para el tratamiento de datos y la resolución de problemas.

2. Distinguir las diferentes partes de una matriz, así como los distintos tipos de matrices.

3. Operar con matrices (suma, producto por un número, producto de matrices).

4. Conocer el concepto de matriz inversible. Calcular la inversa resolviendo un sistema en el caso 2x2 o mediante operaciones elementales en el caso general.

5. Conocer el concepto de rango de una matriz y saber calcularlo por el método de Gauss.

1. Conocer y utilizar las propiedades de los determinantes.

2. Calcular determinantes según distintos métodos.

3. Obtener el rango de una matriz mediante el uso de menores.

4. Calcular la inversa de una matriz regular como traspuesta de la adjunta entre el determinante.

5. Reconocer la utilidad de los determinantes en la resolución de sistemas lineales, especialmente en sistemas con parámetros, y en variados problemas de geometría analítica.

1. Comprender el concepto de bloque, encaminado a la obtención de la forma de Jordan.

2. Manipular matrices elementales y sus efectos en las líneas de una matriz: Rango y equivalencia de matrices.

3. Relacionar el concepto de rango con la regularidad de una matriz. Asimismo con la independencia de sus líneas.

4. Utilizar la elimnación gaussiana -matrices elementales- para obtener las factorizaciones LU y Cholesky de una matriz.

5. Fundamentar la teoría de determinantes, expuesta en el nivel 2.

6. Aprender el proceso de diagonalización -vía semejanza- de una matriz y, en su caso, la obtención de la Forma de Jordan.

Orientaciones

1. Las matrices se presentan como una valiosa herramienta para manipular datos. La utilidad más significativa tratada en este nivel es la resolución de sistemas lineales.

2. Los conceptos básicos (matriz, fila, columna, dimensión, orden, tipos elementales de matrices) se introducen de forma pausada, con numerosos ejemplos y ejercicios interactivos.

3. Las operaciones con matrices se acompañan de ejemplos introductorios. Sus propiedades se presentan en forma de tabla, manteniendo un paralelismo entre la suma y el producto. Se hace especial hincapié en propiedades del producto relacionadas con la noción de matriz inversible.

4. Se define el rango como el número de filas no nulas en una escalonada. Esta definición encontrará otras equivalentes en los niveles 2 y 3.

5. Siempre que es posible, se muestran ejemplos no cuadrados y de dimensiones grandes.

1. Se presenta la definición de determinante en órdenes 2 y 3 (motivada por aparecer en la solución de ciertos sistemas lineales) y se generaliza a orden n. Seguidamente, esta definición se identifica con el desarrollo por una línea. Será esta versión la que se use habitualmente en este nivel.

2. En las propiedades del determinante se destacan aquellas que muestran la transformación que sufre el determinante por operaciones elementales. Éstas se usan para simplificar el cálculo del determinante mediante procesos de escalonamiento.

3. Por último, el determinante se presenta como una útil herramienta que permite saber si una matriz tiene inversa y calcularla, calcular el rango de una matriz, determinar cuántas y cuáles son las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, resolver problemas geométricos de incidencia, de áreas de polígonos y volúmenes de paralelepípedos, etc

1. El concepto clave en el nivel 3 es el de matriz elemental y sus efectos sobre las filas y/o columnas de una matriz.

2. En este nivel todos los resultados se presentan con su demostración, si bien, y a efectos de versatilidad ante una gran variedad de lectores, las demostraciones se abren en ventana aparte.

3. La factorización LU se presenta en su doble versión: con o sin permutación de filas.

4. Ejemplos de tipo sociológico y demográfico introducen la conveniencia de diagonalización -vía semejanza- de matrices.

5. Tal proceso conduce de manera natural a los conceptos de valor y vector propio. El primero de ellos aparece como raíz del polinomio característico, y el segundo como vector no nulo del núcleo de la matriz característica.

Relación entre niveles. Relación con otros módulos

La noción de matriz inversible y su cálculo se introduce en el nivel 1, donde se indica un primer método de obtención de la inversa. Pero se retoma en los niveles 2 y 3, donde se va relacionando con conceptos nuevos (determinante, independencia lineal). Lo mismo puede decirse de la noción de rango. En el nivel 1, sólo se justifican propiedades elementales. Quedan sin demostrar en este nivel algunos resultados importantes (por ejemplo, que todas las matrices escalonadas asociadas a una misma matriz tienen el mismo número de filas no nulas -resultado fundamental para la definición de rango dada en este nivel-; o la coincidencia de la inversa a derecha e izquierda de una matriz regular). En el nivel 2 se enuncian propiedades generales que son demostradas para matrices de tamaño particular. En el nivel 3 se pueden encontrar las demostraciones formales de cualquiera de los resultados incluidos en el mismo, algunos de los cuales han sido presentados o utilizados en niveles anteriores. Obviamente, este módulo está estrechamente relacionado con el módulo de Sistemas Lineales.

Escenas interactivas

Se han desarrollado aplicaciones Javascript interactivas que permiten:

• Operar con dos matrices y comprobar el resultado.

• Calcular términos concretos de la inversa de una matriz de orden 2.

• Manipular filas y columnas de una matriz para su reducción gaussiana, permitiendo también su reducción directa, escalonamiento, cálculo de la inversa, etc.

• Efectuar operaciones para escalonar una matriz y registrar su efecto sobre el determinante. Obtener el valor final del mismo.

Asimismo hay una gran variedad de applets Descartes para trabajar distintos conceptos o para visualizar usos del determinante en contextos geométricos.

Pre/post evaluación

Existe una preevaluación, tipo examen WebCT, que el estudiante puede realizar antes de iniciar el estudio de cada nivel y que le indica si tiene superados los conocimientos del mismo. De esta forma, el alumno obtiene información sobre el nivel en el que le conviene colocarse para estudiar el módulo. Asimismo, una vez estudiado cada nivel, el estudiante puede cumplimentar una post-evaluación. Su calificación, que se obtiene de forma instantánea, le informa sobre su conocimiento de ese nivel, de modo que puede continuar pasando al nivel/tema siguiente o, por el contrario, es conveniente que repita de nuevo su estudio.