Nivel 1

Nivel 2

Nivel 3

Contenidos

• Ecuaciones: Noción, solución, conjunto de soluciones, ecuación lineal.

• Sistema de ecuaciones: Noción, solución, conjunto de soluciones.

• Sistemas lineales

  • Concepto y clasificación en función del número de soluciones.
  • Sistemas equivalentes.
  • Sistemas escalonados.
  • Método de Gauss para la resolución de sistemas.

• Regla de Cramer.

• Dimensión del conjunto solución de un sistema.

• Relación entre el conjunto solución de un sistema y el de su homogéneo asociado.

• Introducción a los conceptos de variedad vectorial y variedad afín.

• Representación de números en coma flotante.

• Propagación de errores.

• Métodos directos de resolución

  • El método de Gauss y el pivoteo parcial.

  • El método de Gauss y el escalamiento.

  • Sistemas mal y bien condicionados.

  • Mal condicionamiento y mal escalamiento.

  • Método de Gauss-Jordan.

  • Los sistemas rectangulares y la eliminación gaussiana.

  • Compatibilidad de los sistemas lineales.

  • Los sistemas homogéneos.

  • Los sistemas lineales no homogéneos.

  • Aplicación de la factorización LU.

• Métodos iterativos de resolución.

  • Métodos iterativos.

  • Método de Jacobi.

  • Método de Gauss-Seidel.

  • Condición de convergencia.

Objetivos

1. Saber transcribir una situación real como un sistema de ecuaciones lineales.

2. Utilizar el lenguaje matricial y sus técnicas más elementales para estudiar los sistemas lineales.

3. Resolver y clasificar un sistema lineal.

4. Interpretar geométricamente sistemas lineales con dos y tres incógnitas.

5. Saber construir ejemplos cuyo planteamiento responda a un sistema lineal dado.

1. Conocer nuevas técnicas para la discusión y resolución de sistemas lineales.

2. Distinguir la bondad de un método de resolución frente a otros según el sistema lineal considerado.

3. Saber determinar la dimensión del conjunto solución de un sistema.

4. Distinguir nuevos conceptos: variedad lineal y variedad afín, apoyándose en los sistemas lineales.

1. El objetivo primordial de este capítulo es dar a conocer nuevos métodos para la resolución de sistemas lineales, A x = b, indicados cuando se utiliza un ordenador.

   • Métodos directos que reducen el sistema original a uno triangular equivalente mediante una factorización triangular de la matriz de los coeficientes. Entre ellos están los métodos de Gauss y Gauss-Jordan, la factorización LU, etc...

   • Los llamados métodos iterativos lineales que se basan en escribir el sistema en una forma  x = B x + d  equivalente, y, partiendo de un vector inicial, generar una sucesión de vectores que converja a la solución del sistema. Se estudian los métodos de Jacobi, Gauss-Seidel, etc...

2. También se quiere instruir al estudiante sobre la conveniencia de elegir unos métodos u otros. Algunos ejemplos, que despertarán el espíritu crítico del estudiantes, muestran cómo, por ejemplo, el método de Gauss-Jordan resulta poco adecuado si la matriz de los coeficientes es muy grande, debido a razones de tiempo de cálculo y problemas de almacenamiento. En este caso se utilizarán los llamados métodos iterativos.

3. Finalmente se quiere que el alumno reconozca los comandos y las funciones del paquete Matlab para la resolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales.

Orientaciones

1. Los sistemas de ecuaciones se introducen como la forma natural de interpretar algebraicamente situaciones cotidianas.

2. Los conceptos elementales se introducen gradualmente, desde ejemplos a situaciones generales.

3. El estudio no se restringe a los sistemas lineales, pero la distribución de los contenidos a lo largo del módulo permite prescindir de las consideraciones hechas sobre aquellos que no son lineales.

4. Se da importancia relevante a los sistemas lineales equivalentes por su trascendencia en la resolución de sistemas. Se pone de manifiesto la relación existente entre las ecuaciones de sistemas equivalentes.

5. La resolución sencilla que ofrecen los sistemas escalonados, conduce al método de Gauss como método general para la resolución de sistemas lineales cualesquiera.

6. La descripción del conjunto de soluciones de un sistema lineal es un punto al que se da especial interés.

1. La regla de Cramer se estudia inicialmente para sistemas compatibles determinados. Un ejemplo, que se convierte en un ejercicio guiado, sirve de base para mostrar la validez de la regla de Cramer para un sistema compatible indeterminado. Por último se establece la regla de Cramer para sistemas compatibles en general.

2. Se resuelven distintos sistemas empleando en cada uno de ellos los métodos de Gauss y de Cramer, con el objetivo de mostrar que la conveniencia de utilizar uno u otro puede depender de la estructura del sistema, de lo pedido en cada caso, ... Con ello se trata de evitar que el alumno siempre aplique el mismo método para resolver un sistema lineal.

3. El concepto de dimensión del conjunto solución de un sistema lineal se establece como la cantidad de parámetros necesarios para describir la solución general, usando inicialmente la idea intuitiva que de dimensión posee el alumno.

4. La relación entre el conjunto solución de un sistema lineal y el de su homogéneo asociado es utilizada para diferenciar los conceptos de variedad vectorial y variedad afín. Sin excesivo rigor se introduce la idea de base de una variedad vectorial. El concepto de dimensión del conjunto solución de un sistema se traslada de forma natural al de dimensión de una variedad vectorial o afín.

Puesto que el tema está orientado a la resolución de sistemas lineales mediante ordenador, se recomienda que el estudio de este nivel se haga acompañándolo de la realización de los ejemplos y prácticas que aparecen a lo largo del mismo para que el usuario pueda percibir de manera más clara cuáles son los procesos involucrados, así como sus ventajas e incovenientes.

Relación entre niveles. Relación con otros módulos

En el nivel 1 el estudio de los sistemas lineales se ilustra con numerosos ejemplos en los que el número de incógnitas es dos, tres, cuatro o cinco. Esta circunstancia, que no conlleva una dificultad añadida, permite dar mayor sentido a algunas de las técnicas explicadas.

Por otro lado, el estudio por niveles de los sistemas lineales se adecua a la distribución de los contenidos del bloque de matrices en los niveles correspondientes. Por ello, el estudio del rango de la matriz asociada a un sistema en función de sus menores ó la resolución de sistemas por el método de Cramer se lleva a cabo en el nivel 2.

Tanto en el nivel 1 como en el nivel 2 se ha huído de las demostraciones rigurosas de la mayoría de los resultados enunciados, demostraciones que aparecen en el nivel 3 de matrices.

El nivel 3 de Sistemas de Ecuaciones Lineales es independiente, en gran medida, del resto de los otros dos niveles de este mismo tema. Es obvio que este nivel dispone del apoyo teórico de los anteriores, pero una vez conocidos los resultados más elementales, su desarrollo se centra en alcanzar las soluciones numéricas óptimas.

Escenas interactivas

Muchos de los contenidos tratados comienzan mediante ejemplos y/o ejercicios que el propio alumno debe resolver. Estos ejercicios están diseñados mediante una aplicación Javascript que permite conocer al alumno tanto la puntuación obtenida a través de sus respuestas, como la solución correcta, o en su defecto una pista para poder efectuar un nuevo intento y mejorar su calificación. Esta aplicación también es la empleada en las autoevaluaciones y en muchos de los ejercicios de comprensión y/o consolidación de los contenidos.

La aplicación Javascript que permite manipular filas y columnas de una matriz para su reducción gaussiana, y también su reducción directa y escalonamiento, puede ser empleada para pasar de un sistema a otro equivalente escalonado y de éste a la descripción, si el sistema es compatible, del conjunto de soluciones.

El uso de Matlab durante el estudio del nivel 3 incorpora el grado de interactividad que todo paquete de cálculo permite.

Pre/post evaluación

Existe una preevaluación, tipo examen WebCT, que el estudiante puede realizar antes de iniciar el estudio de cada nivel y que le indica si tiene superados los conocimientos del mismo. De esta forma, el alumno obtiene información sobre el nivel en el que le conviene colocarse para estudiar el módulo. Asimismo, una vez estudiado cada nivel, el estudiante puede cumplimentar una post-evaluación. Su calificación, que se obtiene de forma instantánea, le informa sobre su conocimiento de ese nivel, de modo que puede continuar pasando al nivel/tema siguiente o, por el contrario, es conveniente que repita de nuevo su estudio.

El nivel 3 no dispone de ese tipo de pruebas.