Nivel 1

Nivel 3

Contenidos

• El significado geométrico y la construcción de la integral de Riemann de funciones de una variable.

• Propiedades básicas de la integral y de las funciones integrables.

• Métodos numéricos de integración.

Objetivos

1. Comprender la interpretación geométrica del concepto de integral de funciones de una variable.

2. Relacionar la interpretación geométrica de la integral con la definición mediante sumas de Riemann.

3. Comprender el significado de las propiedades básicas de la integral, relacionándolas con su significado geométrico.

4. Comprender la relación entre la definición de la integral y el cálculo de primitivas: Teorema Fundamental del Cálculo.

5. Comprender la necesidad de conocer métodos numéricos para el cálculo aproximado de integrales definidas.

6. Conocer lo métodos básicos de integración numérica.

Orientaciones

1. La idea fundamental en este nivel es comprender el significado geométrico de la integral de funciones de una variable, y la dificultad de formalizar un algoritmo de cálculo.

2. Se trata de esta manera de que se entienda el porqué de la definición de la integral de Riemann. Esta forma de presentar el tema permite abordar posteriormente la definición de la integral de funciones de varias variables sin dificultad.

3. Las propiedades fundamentales de la integral se presentan siempre con una interpretación geométrica que facilite su comprensión, y su asimilación.

4. En este nivel 3, todos los resultados están acompañados de sus demostraciones. Sin embargo, es normal que las dificultades técnicas de las demostraciones de estos resultados teóricos dificulten su comprensión, por lo que se presentan aparte, mediante enlaces que el estudiante, o el profesor, puede abrir o no según le interese en ese momento.

5. Las dificultades mostradas en la costrucción de un algoritmo de cálculo de integrales justifican por sí solas el interés de encontrar métodos numéricos de cálculo aproximado de integrales: el tema de métodos numéricos se desarrolla sólo para integrales de una variable.

Relación entre niveles. Relación con otros módulos

El cálculo de primitivas como método para el cálculo de integrales definidas se estudia en el último curso de bachillerato de forma más o menos completa según las posibilidades de tiempo de cada curso, basándose en la capacidad más o menos ágil de los estudiantes de reconocer una derivada para reconstruir la función original. En el nivel 2 se tratará de forma exahustiva los distintos métodos de cálculo de primitivas, para cubrir las necesidades de cualquier estudiante de primer curso de universidad.

La justificación teórica que relaciona el cálculo de primitivas con la definición de la integral, el teorema Fundamental del Cálculo, se desarrolla en el nivel 3.

La teoría de la integración hace uso de conocimientos previos sobre los números reales, las sucesiones y las funciones, como la acotación de conjuntos, los límites de sucesiones o la continuidad de funciones, que se desarrollan en los módulos correspondientes.

Escenas interactivas

En este módulo se han desarrollado herramientas gráficas para apoyar la intepretación geométrica de la integral: hay numerosos gráficos fijos y dinámicos, contruidos con programas de cálculo como Maple, de los que se aporta el fichero original. Los usuarios de Maple pueden copiar esos ficheros para manipular los gráficos.

Pre/post evaluación