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Función inversa (recíproca)

Para la función  f  dada por  f (x) = 2x + 3 , ¿cómo se calcula  f (4) ?

No hay más que sustituir  x  por 4,  f (4) = 2·4 + 3 , y realizar las operaciones indicadas:

• multiplicar 4 por 2, 8
• al resultado anterior, 8, sumar 3, obteniendo 11.

Al revés, si se conoce que  f (x) = 11, ¿cuál es el valor de  x?

Realizando "hacia atrás" los pasos dados anteriormente:

• restar 3 a 11, 8
• al resultado anterior, 8, dividir entre 2, obteniendo 4.

En realidad habría resultado más cómodo resolver la ecuación  2x + 3 = 11 ;  x = (11 − 3)/2 = 4

En la escena de la izquierda el primer botón invierte el sentido de la transformación.

La función que "deshace" la transformación es la función inversa, f −1(x) = (x − 3)/2. La aplicación consecutiva (composición) de  f −1  y  f  devolverá el número original: $\left(f^{–1}ºf\right)\left(x\right)=f^{–1}\left(f\left(x\right)\right)=f^{–1}\left(2x+3\right)=\frac{\left(2x+3\right)–3}{2}=x$ Lógicamente, si  f −1  es la inversa de f,  f  será la inversa de  f −1: $\left(f\circ f^{-1}\right)\left(x\right)=f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=f\left(\frac{x-3}{2}\right)=2\frac{x-3}{2}+3=x$

$\begin{array}{ccc}x& \stackrel{f}{\to }& y=f\left(x\right)\\ x=f^{–1}\left(y\right)& \underset{f^{–1}}{\leftarrow }& y\end{array}$

 

FUNCIÓN INVERSA (RECÍPROCA) Se llama función inversa o recíproca de  f , a la función  f −1  tal que $$\left(f^{-1}\circ f\right)\left(x\right)=\left(f\circ f^{-1}\right)\left(x\right)=x$$