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¿Cuánto crecen las funciones?

¿Cuánto y cómo crecen las funciones crecientes? En las páginas anteriores se mostraban distintas funciones crecientes. De algunas se aseguraba que crecen muy rápidamente, mientras que otras lo hacen lentamente. En la imagen de la derecha se observa el comportamiento creciente de algunas de las funciones estudiadas (potenciales, xn; radicales, $\sqrt[n]{x}$; exponenciales, ax  y logarítmicas, loga x). Todas ellas crecen indefinidamente para  x > 0, pero lo hacen de manera muy distinta.

Algunas características de esas funciones crecientes:

• Las funciones logarítmicas (log_a x, con  a > 1) son las funciones que menos crecen. Crecen menos que cualquier función radical ($\sqrt[n]{x}$), por grande que sea  n . Cuanto mayor es la base, a, del logaritmo tanto menos creciente es la función.
• Las funciones radicales ($\sqrt[n]{x}$), crecen por encima (son más crecientes) que las logarítmicas, y por debajo de las lineales (y = m x + n, con pendiente  m > 0). Estas se muestran tanto más crecientes cuanto mayor sea la pendiente  m.
• Las funciones potenciales (xⁿ, con  n > 1) crecen más que las lineales, pero menos que las exponenciales. Las funciones potenciales son tanto más crecientes cuanto mayor sea su grado  n.
• Las funciones exponenciales (a^x, con  a > 1) son las funciones que más crecen. Crecen por encima de cualquier potencial, por grande que sea su grado n y por pequeña que sea la base (a > 1) de la exponencial.

 

Reflexione el lector sobre el crecimiento de las funciones (crecientes) y responda las siguientes preguntas.

 

¿Hay funciones que crezcan por encima de $\sqrt{x}$ y por debajo de  x? Sí que las hay. Ponga un ejemplo.

¿Y alguna que crezca por encima de  x  y por debajo de  x²?

Se observa en la gráfica de arriba que, al menos de forma aparente, x³  crece más deprisa que  e^x (de hecho, para  x = 3, 3³ > e³), lo que parece contradecir la última de las afirmaciones sobre el crecimiento de las funciones exponenciales. Compruebe cómo, para valores de  x  suficientemente grandes, la exponencial  e^x  se vuelve a colocar por encima de la potencial  x³ .