Se muestra a la derecha la gráfica -incompleta, pues una pequeña parte permanece oculta- de la función

$f\left(x\right)=\frac{-x^2+4x-3}{x^2-4x+4}$

¿Cuánto vale "y" en  x = 2? ¿Y en las cercanías de  x = 2?

En este caso no es posible la sustitución de  x  por 2, pues resulta una fracción de denominador cero (1/0). La función no existe en  x = 2.

Para averiguar lo que pasa se puede emplear una tabla  XY  tomando para  x  valores próximos a 2. Probando en primer lugar por su izquierda (x < 2):

A medida que se toman valores de  x  cada vez más próximos a x = 2, la ordenada "y" -el valor de la función- no solo no se acerca a ningún valor, sino que crece de manera ilimitada, y resulta posible encontrar valores tan grandes de "y" como se desee, sin más que tomar valores de  x  suficientemente próximos a  x = 2. Cuando esto ocurre se dice que el límite de la función cuando  x  tiende a 2 por su izquierda es infinito, y se escribe:

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{-x^2+4x-3}{x^2-4x+4}=+\infty$

Lo mismo ocurre cuando se toman valores próximos a  x = 2  por su derecha, por lo que se puede escribir directamente

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{-x^2+4x-3}{x^2-4x+4}=+\infty$

Y, en general:

De manera análoga se define el límite "menos infinito" en un punto, y se escribe: $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

La interpretación geométrica del límite infinito en un punto conduce a la ASÍNTOTA VERTICAL de ecuación  x = a.

Algunos ejemplos conocidos

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{{\left(x-2\right)}^2}=+\infty$$	$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\infty$$	$$\underset{x\to \pi /2^{-}}{\lim }\tan x=+\infty ,\underset{x\to \pi /2^{+}}{\lim }\tan x=-\infty$$
Asíntota vertical  x = 2	Asíntota vertical  x = 0	Asíntota vertical  x = π/2