En páginas anteriores se hablaba de la continuidad de las funciones -cuando se podía trazar su gráfica sin levantar el lápiz ...- como una característica global de las mismas. El concepto de límite de una función en un punto permite ahora mejorar aquella idea, estableciendo condiciones concretas para definir la continuidad de una manera local, ésto es, como una característica o propiedad referida a cada punto.

[ATENCIÓN: La expresión   "$\text{existe }\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)$" debe interpretarse en el sentido de que el límite existe y es finito.]

Se establecen así tres condiciones para la continuidad que permiten concretar, según se incumpla una u otra, los distintos tipos de discontinuidad. Además, la tercera condición no es independiente de las otras ya que exige el cumplimiento de las dos primeras. Ello permite reescribir la definición anterior:

Definición en la que debe sobreentenderse que la inexistencia de alguno de los miembros de la última igualdad conlleva la discontinuidad de la función en  x = a.

Discontinuidades

En las gráficas de la derecha se muestran distintos tipos de discontinuidad. Observe el incumplimiento de algunas de las condiciones.

imagen:  de 

Continuidad en un intervalo. Funciones continuas.

Una función es continua en un intervalo (en todo su dominio, en su caso), cuando lo es en todos sus puntos.

Las funciones estudiadas en este módulo -polinómicas, racionales, radicales, logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, ...- son continuas en todos los puntos en que se encuentran definidas, es decir, continuas en todo su dominio.