Según lo expuesto anteriormente, resulta muy sencillo el cálculo del límite en un punto en el que una función es continua, ya que en este caso el límite coincide con el valor de la función.

Ejemplos: $\underset{x\to 5}{\lim }{x}^2=5^2=25,\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4}{x-1}=\frac{4}{0-1}=-4,\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\sqrt{x-1}=\sqrt{1-1}=0$

Límite de funciones racionales

Las funciones racionales -cociente de polinómicas- son siempre continuas salvo en los ceros o raíces del denominador . Excepto en ese caso el límite se obtendrá sustituyendo  x  por el número dado.

$\text{si }Q\left(a\right)\ne 0\text{, }\underset{x\to a}{\lim }\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{P\left(a\right)}{Q\left(a\right)}$

Si el denominador se anula, Q(a) = 0, la situación será distinta según se anule o no el numerador.

P (a) ≠ 0 , Q (a) = 0

$\underset{x\to a^{+/-}}{\lim }\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=+/-\infty$

Será preciso calcular los límites laterales para obtener los signos.

$\begin{array}{l}\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^3-x^2+1}{x^2+3x-10}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^3-x^2+1}{\left(x-2\right)\left(x+5\right)}=-\infty \left[\frac{5}{\left(0^{-}\right)7}\left(\text{reglas de los signos}\right)\right]\\ \underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^3-x^2+1}{x^2+3x-10}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^3-x^2+1}{\left(x-2\right)\left(x+5\right)}=+\infty \left[\frac{5}{\left(0^{+}\right)7}\left(\text{reglas de los signos}\right)\right]\end{array}$

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-2}{{\left(x-1\right)}^4}=-\infty \left[\frac{-1}{\left(0^{+}\right)}\left(\text{reglas de los signos}\right)\right]$

El hecho de que el exponente con el que aparece el correspondiente divisor (x − 1) en la descomposición factorial del denominador sea par (4) es relevante pues hace que la función no cambie de signo al pasar de la izquierda de 1 (1⁻) a la derecha (1⁺). De la misma forma, si el exponente fuera impar el cambio de signo estaría garantizado y habría que calcular los límites laterales.

P (a) = Q (a) = 0

(x − a)  es entonces divisor, tanto del numerador como del denominador, y se puede escribir:

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{\left(x-a\right)P_1\left(x\right)}{\left(x-a\right)Q_1\left(x\right)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}$

El nuevo límite, $\underset{x\to a}{\lim }\frac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}$ , será de alguno de los tipos vistos más arriba. Si esto no fuera así, es decir, si se volvieran a anular numerador y denominador, sería preciso volver a dividir ambos por x − a.

$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x+3}{x^2+8x+15}=\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x+3}{\left(x+3\right)\left(x+5\right)}=\underset{x\to -3}{\lim }\frac{1}{x+5}=\frac{1}{-3+5}=\frac{1}{2}$

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-2x+1}{x^2+4x-5}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{{\left(x-1\right)}^2}{\left(x-1\right)\left(x+5\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{x+5}=\frac{0}{1+5}=0$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-2x}{x^3+4x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\left(x-2\right)}{x^2\left(x+4\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-2}{x\left(x+4\right)}\text{no existe}\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x}{x^3+4x^2}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x-2}{x\left(x+4\right)}=+\infty \left[\frac{-2}{\left(0^{-}\right)4}\right]\hfill \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2-2x}{x^3+4x^2}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x-2}{x\left(x+4\right)}=-\infty \left[\frac{-2}{\left(0^{+}\right)4}\right]\hfill \end{array}$

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2x^3-9x^2+12x-4}{x^3+4x^2+4x}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(2x^2-5x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2-2x\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2x^2-5x+2}{x^2-2x}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(2x-1\right)}{x\left(x-2\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2x-1}{x}=\frac{3}{2}$