notas02e

Límite cuando x → + ∞

Se muestra a la derecha la gráfica -incompleta, pues una pequeña parte permanece oculta- de la función

$f (x) = \frac{x^{2} + x + 4}{x^{2} + 1}$

¿Cuánto vale y cuando x toma valores grandes? ¿Cuánto vale en x = 5? ¿Y en x = 10, x = 100,... ?

Para averiguar lo que ocurre se puede emplear una tabla XY tomando para x valores grandes:

$f (x) = \frac{x^{2} + x + 4}{x^{2} + 1}$	x	0	2	5	10	10 000	...
$f (x) = \frac{x^{2} + x + 4}{x^{2} + 1}$	y	4	2	1,30769	1,12871	1,00010	...

Se observa que cuando x toma valores cada vez más grandes, "y" se aproxima o acerca hacia y = 1.

Lo que ocurre tiene una explicación sencilla, pues cuando $x » 0$ , $\frac{x^{2} + x + 4}{x^{2} + 3} \approx \frac{x^{2}}{x^{2} + 3} \approx \frac{x^{2}}{x^{2}} = 1$

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Se escribe, entonces $\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + x + 4}{x^{2} + 3} = 1$ .

Y, en general:

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = l$

Cuando al aumentar "x" el valor de la "y" se acerca a y = l. Es entonces posible encontrar valores de "y" tan próximos a y = l como se desee, sin más que tomar valores de x suficientemente grandes.

La interpretación geométrica del límite finito (l) cuando x → +∞ conduce a la ASÍNTOTA HORIZONTAL de ecuación y = l. Para $x » 0$ , f (x) ≈ l, y la curva se confunde con la asíntota. Suficientemente lejos del origen la curva puede sustituirse por la asíntota.

Otros casos

Al igual que ocurre con el límite de una función en un punto, el límite cuando x → +∞ también puede ser infinito o no existir.

Límite cuando x → −∞

De forma análoga a como se ha definido y tratado el límite de una función cuando x tiende a más infinito, se define y estudia el límite cuando x tiende a menos infinito, lo que permite el estudio de ramas infinitas en el segundo y tercer cuadrantes, cuando $x « 0$ .