Tabla de contenidos    Indice temático   

Cálculo del límite cuando  x → + ∞

---

Funciones polinómicas

$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^2=+\infty ;\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^3=+\infty ;$ $\colorbox[rgb]{0.909803921568627,0.909803921568627,0.909803921568627}{$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^n=+\infty $}$ $\left(n\in \mathbb{N},n\ge 1\right)$

Efectivamente, es posible encontrar valores tan grandes de  xⁿ  como se desee, sin más que tomar valores suficientemente grandes de  x.

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(2x^3\right)=+\infty ;\underset{x\to \infty }{\lim }\left(-5x^2\right)=-\infty ;$ $\colorbox[rgb]{0.909803921568627,0.909803921568627,0.909803921568627}{$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(a{x}^n\right)=+/-\infty $}$

(El signo vendrá dado por el signo de  a,  "+"  si  a > 0, y  "−"  si  a < 0)

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(2x^2-3x+5\right)=+\infty ;$ $\colorbox[rgb]{0.909803921568627,0.909803921568627,0.909803921568627}{$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(a{x}^n+b{x}^{n-1}+\mathrm{...}\right)=+/-\infty $}$

Pues para   $x\gg 0$ , se pueden despreciar todos los términos del polinomio frente al de mayor grado ( $2$ ).

---

Funciones racionales

$f\left(x\right)=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{a{x}^m+\mathrm{...}}{b{x}^n+\mathrm{...}}$

Se presentan distintos casos según el grado de los polinomios.

grado  P > grado Q  (m > n)

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a{x}^m+\mathrm{...}}{b{x}^n+\mathrm{...}}=+/-\infty$

(El signo vendrá dado por el signo de  a/b,  "+"  si  a/b > 0, y  "−"  si  a/b < 0)

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^5+3x^4-x^2}{4x^3+1}=+\infty \left[\text{para }x\gg 0,\frac{x^5+3x^4-x^2}{4x^3+1}\approx \frac{x^5}{4x^3}=\frac{1}{4}{x}^2\to +\infty \right]$

grado P < grado Q  (m < n)

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a{x}^m+\mathrm{...}}{b{x}^n+\mathrm{...}}=0$

y = 0  es asíntota horizontal.

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2-5x}{2x^3+1}=0\left[\text{para }x\gg 0,\frac{x^2-5x}{2x^3+1}\approx \frac{x^2}{2x^3}=\frac{1}{2x}\to 0\right]$

grado P = grado Q  (m = n)

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a{x}^n+\mathrm{...}}{b{x}^n+\mathrm{...}}=\frac{a}{b}$

y = a/b   es asíntota horizontal.

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2-5x^3}{2x^3-x^2+1}=-\frac{5}{2}\left[\text{para }x\gg 0,\frac{x^2-5x^3}{2x^3-x^2+1}\approx \frac{-5x^3}{2x^3}=-\frac{5}{2}\right]$

---

Límite cuando $x\to -\infty$

El cálculo de límites cuando $x\to -\infty$ se realiza de manera análoga teniendo cierto cuidado con los signos, pues cuando $x\to -\infty ,x^n\to +\infty ,\text{ si }n\text{ es par}\text{, y }{x}^n\to -\infty \text{, si }n\text{ es impar}$.

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2-5x^6}{2x^3-x^2+1}=+\infty \left[\text{para }x\ll 0,\frac{x^2-5x^6}{2x^3-x^2+1}\approx \frac{-5x^6}{2x^3}=\frac{-5x^3}{2}=+\infty \right]$

Hay otra manera interesante de calcular el límite cuando $x\to -\infty$ . Recordando cómo se transformaba la gráfica de una función al cambiar  x  por  −x, [Clic aquí si desea recordarlo] resulta:

$\colorbox[rgb]{0.909803921568627,0.909803921568627,0.909803921568627}{$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(-x\right)$}$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-5}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2x-5}{-x+1}=2$

---