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Propiedades del producto escalar

1. El producto escalar del vector $\vec{0}$ por cualquier otro vector es el número cero.

$si \vec{u} = 0 o \vec{v} = 0, entonces \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

2. Si dos vectores son perpendiculares su producto escalar es cero.

$si \vec{u} ⊥ \vec{v}, entonces \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

3. Si el producto escalar de dos vectores no nulos es cero, estos son perpendiculares.

$si \vec{u} \cdot \vec{v} = 0, con \vec{u} \neq 0, \vec{v} \neq 0, entonces \vec{u} ⊥ \vec{v}$

4. El producto escalar de dos vectores es igual al producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cos α = | \vec{u} | \cdot {proyección de \vec{v} sobre \vec{u}}$

5. Propiedad conmutativa

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$

6. Propiedad asociativa

$λ (\vec{u} \cdot \vec{v}) = (λ \vec{u}) \vec{v} = \vec{u} (λ \vec{v})$

7. Propiedad distributiva

$\vec{u} (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$

8. Si $B = {\vec{i}, \vec{j}}$ es una base ortonormal, el producto escalar de sus vectores es:

$\begin{matrix} \vec{i} \cdot \vec{i} = \vec{j} \cdot \vec{j} = 1 & ; & \vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{i} = 0 \end{matrix}$

9. Si los vectores $\vec{u} (u_{1}, u_{2})$ y $\vec{v} (v_{1}, v_{2})$ están dados en una base ortonormal, su producto es:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2}$