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Sistema de referencia

En apartados anteriores ("operaciones con coordenadas") se establecía, dada una base $B=\left\{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right\}$ , la "asociación" entre vectores y coordenadas:

$\underset{\text{vector}}{\underbrace{\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}}}\leftarrow \to \underset{\text{coordenadas}}{\underbrace{\left(x,y\right)}}$

Es preciso completar esa asociación con los "puntos", a fin de poder emplear, indistintamente, puntos, vectores o coordenadas:

¿Cómo asociar puntos con vectores y coordenadas? ¿Recuerda aquella primera ventana "vacía" con la que se empezó a hablar de vectores? Era una región del plano. Aquí la tiene otra vez en la figura de la derecha.
Se toma un punto cualquiera de esa región y se etiqueta con la letra O; a este punto se le llamará ORIGEN. Una vez fijado el origen, O, se toman representantes de los vectores $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ de la base que tengan origen en O. El artilugio ya está preparado para asociar los puntos con vectores y coordenadas.
Es el momento de tomar un punto P cualquiera. A este punto se le asocia el vector $\overrightarrow{OP}$ , VECTOR DE POSICIÓN del punto P, y las coordenadas (x, y) del vector referidas a la base. (x, y) serán así tanto coordenadas del vector $\overrightarrow{OP}$ como coordenadas del punto P. El vector de posición de un punto suele escribirse con la misma letra, en minúsculas, que el punto: $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{OP}$

Se ha establecido, así, una asociación que permite "describir" un punto a través de sus coordenadas referidas a un origen y a una base. Mientras no se cambien el origen y la base, la descripción es única.

- A cada punto le corresponde un vector (vector de posición) y unas coordenadas.

- A cada vector le corresponden unas coordenadas y un punto (su extremo).

- A cada par (x, y) le corresponde un vector y un punto.

Además, puesto que la descripción es única, conocida una de las representaciones (punto, vector o coordenadas) se pueden obtener las otras dos.

SISTEMA DE REFERENCIA Es el conjunto formado por un punto O, origen, y una base $\left\{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right\}$ del plano vectorial: $R=\left\{\text{O},\left\{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right\}\right\}$

Una vez establecido un sistema de referencia es posible referirse a un punto a través de su vector de posición o a través de sus coordenadas.

Si la base es ortonormal, también el sistema de referencia se llama ortonormal. Siempre que se escriban unas coordenadas se entenderá que están referidas, mientras no se indique otra cosa, a un sistema ortonormal.

El establecimiento de un sistema de referencia permitirá, en las páginas siguienes, obtener las primeras aplicaciones prácticas.