notas02e

Rectas perpendiculares

Si se tienen los vectores $\vec{u} = (2, 3) y \vec{v} = (k, - 4)$

¿cuál ha de ser el valor de k para que los vectores sean perpendiculares?

Puesto que los vectores perpendiculares tienen producto escalar nulo: $\vec{u} \cdot \vec{v} = (2, 3) \cdot (k, - 4) = 2 k - 12 = 0 \Rightarrow \begin{matrix} k = 6 \end{matrix}$

Así pues, dos rectas en forma paramétrica

$r : {\begin{array}{l} x = a_{1} + t u_{1} \\ y = a_{2} + t u_{2} \end{array} s : {\begin{array}{l} x = b_{1} + t v_{1} \\ y = b_{2} + t v_{2} \end{array}$

serán perpendiculares cuando lo sean sus vectores de dirección $\vec{u} (u_{1}, u_{2}) y \vec{v} (v_{1}, v_{2})$ , lo que ocurrirá cuando su producto escalar sea nulo:

$r : {\begin{array}{l} x = a_{1} + t u_{1} \\ y = a_{2} + t u_{2} \end{array} s : {\begin{array}{l} x = b_{1} + t v_{1} \\ y = b_{2} + t v_{2} \end{array}$

son PERPENDICULARES cuando

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0; (u_{1}, u_{2}) \cdot (v_{1}, v_{2}) = 0; u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} = 0$

¿Y si las rectas están en forma general (implícita)?

r₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0

r₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0

Sus vectores normales ${\vec{n}}_{1} = (A_{1}, B_{1}) y {\vec{n}}_{2} = (A_{2}, B_{2})$ también serán perpendiculares:

r₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0

r₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0

son PERPENDICULARES cuando

${\vec{n}}_{1} \cdot {\vec{n}}_{2} = 0; (A_{1}, B_{1}) \cdot (A_{2}, B_{2}) = 0; A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$

¿Y si las rectas están en forma explícita?

r₁: y = m₁ x + n₁

r₂: y = m₂ x + n₂

pasando a forma general se pueden obtener los vectores normales (m₁, -1) y (m₂, -1) y los de dirección (1, m₁) y (1, m₂).

Multiplicando escalarmente unos u otros: 1+ m₁ m₂= 0 ; y despejando m₂= - 1/m₁

r₁: y = m₁x + n₁

r₂: y = m₂x + n₂

son PERPENDICULARES cuando $m_{2} = - \frac{1}{m_{1}}$

(las pendientes han de ser opuestas en el signo e inversas en su valor absoluto)

vectores perpendiculares

rectas perpendiculares (con vectores de dirección)

rectas perpendiculares (con vectores normales)

pendientes de rectas perpendiculares