Se llama así, ecuación reducida, a la que se obtiene tomando como origen de coordenadas el centro de la elipse y como ejes coordenados los ejes de la elipse.

d (P, F) + d (P, F') = k = 2a

sustituyendo en las fórmulas que calculan la distancia entre dos puntos:

$\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}=2a$
aislando la primera raíz en el primer miembro:
$\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}=2a-\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}$

elevando al cuadrado ambos miembros:

$\begin{array}{l}{\left(x-c\right)}^2+y^2=4a^2+{\left(x+c\right)}^2+y^2-4a\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}\\ \cancel{x^2}-2cx+\cancel{c^2+y^2}=4a^2+\cancel{x^2}+2cx+\cancel{c^2+y^2}-4a\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}\\ -4cx-4a^2=-4a\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}\end{array}$

dividiendo por -4 :

$cx+a^2=a\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}$

volviendo a elevar al cuadrado:

$\begin{array}{l}{c}^2{x}^2+2c{a}^{2}x+a^4=a^2\left[{\left(x+c\right)}^2+y^2\right]\\ c^2{x}^2+\cancel{2c{a}^{2}x}+a^4=a^2{x}^2+\cancel{2c{a}^{2}x}+a^2{c}^2+a^2{y}^2\\ \left(a^2-c^2\right)x^2+a^2{y}^2=a^4-a^2{c}^2=a^2\left(a^2-c^2\right)\end{array}$

sustituyendo $a^2-c^2=b^2$

$b^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2$

dividiendo, por último, los dos miembros por $a^2{b}^2$, resulta: