Nivel 1

Nivel 2

Nivel 3

Contenidos

• Uso de símbolos matemáticos

  • De carácter aritmético.
  • Ligados a la teoría de conjuntos.
  • Cuantificadores.
  • Propios de la teoría de la deducción.

• Aspectos elementales de la teoría de la demostración

  • El razonamiento lógico.
  • Métodos de demostración.
  • Significado de contraejemplo.
  • Errores a evitar.

• Técnicas elementales de recuento

  • Situaciones diversas, distinguiendo aquellas en las que de una colección de objetos se selecciona una cantidad de ellos y se "agrupan".
  • Conceptos propios de la Combinatoria.

• Algunas estrategias en la resolución de problemas

  • Distinción entre ejercicio y problema.
  • Fases: comprensión, concepción de un plan y ejecución del plan; esta última fase con estrategias como realización de esquemas y representaciones, comparación con otros problemas, ...

• Principio de inducción

  • Significado y manera de aplicarlo.
  • Distintas versiones de dicho principio.
  • Ejemplos de naturaleza diversa.

Objetivos

1. Conocer y manejar distintos símbolos matemáticos, y reflexionar sobre la multifuncionalidad de algunos de ellos.

2. Conocer el vocabulario básico y las leyes elementales de la teoría de la deducción para poder abordar con garantías la demostración de un resultado, así como reflexionar sobre los errores que pueden cometerse en la misma y evirtarlos.

3. Saber distinguir diferentes situaciones de recuento y poder determinar el valor pedido en cada caso.

4. Conocer las fases esenciales en el proceso de resolución de un problema y las diferentes técnicas que pueden aplicarse, con el fin de poderlas incorporar en el propio quehacer matemático.

5. Conocer las diferentes versiones del principio de inducción y saber aplicarlo, así como contemplar la inducción, para casos especiales, como una nueva forma de recuento.

6. Contemplar la inducción, en casos especiales, como una nueva forma de recuento.

7. Con todo ello, capacitar al alumno en el uso del lenguaje y de las técnicas elementales que conlleva el trabajo matemático.

Orientaciones

1. Se repasan algunos de los símbolos conocidos para hacer observar al estudiante la importancia del contexto a la hora de dar una correcta interpretación de los mismos. El análisis de los diferentes significados de un único símbolo produce una mayor permeabilidad para aceptar nuevos significados del mismo.

2. La teoría de conjuntos y la lógica proposicional se introducen a través de sus símbolos respectivos. Puesto que ninguna de las dos teorías constituye objeto de estudio en sí misma, sino un mero instrumento que facilita el trabajo matemático (comodidad, rigor, no ambigüedad, ...), el tratamiento dado carece de cualquier grado de profundización. Por ello, entre los enlaces de interés que se ofrecen al final del capítulo aparecen algunos que ofertan estudios más completos de estos aspectos.

   Es importante trabajar todos los ejemplos, pues en muchos casos constituyen el soporte para introducir nuevos conceptos, de los que se pide rendir cuentas en los diversos ejercicios. De esta forma se aligera la exposición de los contenidos.

3. Un ejemplo no matemático es el hilo conductor para introducir la terminología propia de la teoría de la demostración: hipótesis, cadena de razonamientos, tesis, condición necesaria, ...

   Los métodos de demostración se introducen de forma concisa y el estudio detallado de cada uno de los ejemplos se concibe como la mejor manera de diferenciar unos métodos de otros.

   El modo de probar que un enunciado es falso conduce al concepto de contraejemplo.

   Distintos ejemplos instruyen sobre el cuidado que hay que poner en una demostración para no caer en errores habituales: generalización por analogía, identificar una implicación y su recíproca, ...

   Todos los ejercicios son autoevaluables y su realización arroja información inmediata del progreso del estudiante.

4. De diferentes situaciones en las que se pide determinar la cantidad de elementos de una colección dada, surgen los distintos modelos de problemas que aborda la Combinatoria. También esas situaciones permiten observar que la Combinatoria no resuelve todos los problemas de recuento.

5. Tras la distinción entre problema y ejercicio, un ejemplo ilustra las distintas fases en la resolución de un problema, así como algunas de las estrategias que pueden permitir dicha resolución.

   En este apartado se proponen cuatro problemas, de sólo uno de ellos se da la solución; ésta en la parte de inducción. En los demás casos se ha omitido la solución para no "entorpecer con su presencia" las diferentes tentativas por parte del estudiante. Éste puede usar el foro o el correo electrónico para solicitar una revisión o una pista por parte del profesor.

6. Ejemplos completamente desarrollados y de carácter muy diverso aclaran el significado y la forma de aplicación del principio de inducción. Los ejercicios tienen idéntica estructura a la de los ejemplos (los ejercicios autoevaluables resultan aquí practicamente imposibles de diseñar). Se espera que unos y otros sean usados para lo que han sido concebidos.

Relación entre niveles. Relación con otros módulos

Se ha pensado que las cuestiones abordadas en este módulo no sean tratadas según diferentes niveles. Parece obvio, por ejemplo, que un desarrollo más profundo de las mismas conllevaría a temas con entidad propia: Teoría de Conjuntos, Lógica Proposicional, ... y no a un "cajón de sastre" como se ha entendido en este nivel (que se espera no sea un "desastre de cajón").

Las propias caracteristicas del módulo ponen de manifiesto su gran utilidad para cualquier otro.

Escenas interactivas

La mayor parte de los ejercicios del módulo están diseñados mediante una aplicación JavaScript que permite conocer al alumno tanto la puntuación obtenida a través de sus respuestas, como la solución correcta, o en su defecto una pista para poder efectuar un nuevo intento y mejorar su calificación.

La calculadora de Combinatoria es la que Adolfo Cid presenta en el proyecto Thales (Tema de Combinatoria).

Pre/post evaluación

Existe una preevaluación, tipo examen WebCT, que el estudiante puede realizar antes de iniciar el estudio del módulo.

Asimismo una vez estudiado el tema, el estudiante puede cumplimentar las autoevaluaciones que aparecen en la última página. Para cada bloque del tema se ha diseñado una. Su calificación, que se obtiene de forma instantánea, le informa sobre su conocimiento del módulo. Estas autoevaluaciones constituirían lo que denomina la post-evaluación.